Algorithm Language Agnostic Math Geometry

최대 직사각형 찾기: 최대 직사각형 문제 설명

기하학 및 알고리즘 분야에서 최대 직사각형 문제는 매혹적인 도전 과제입니다. 이 문제는 다양한 채워진 공간과 비어 있는 공간으로 구성된 격자 내에서 효율적으로 최대 면적의 직사각형을 찾는 방법을 묻습니다. 이 문제는 UI 디자인에서 창 배치와 같은 다양한 프로젝트에 실질적인 영향을 미치므로 개발자와 디자이너 모두가 해결책을 이해하고 구현하는 것이 필수적입니다.

문제 설명

화면을 나타내는 격자를 상상해 보십시오:

채워진 영역은 '#' 문자로 표시됩니다.
비어 있는 공간은 점 '.'으로 표현됩니다.

이러한 표현을 바탕으로, 채워진 공간 내에서 '.'로만 구성된 가장 큰 직사각형을 식별하는 것이 과제입니다. 예를 들어, 샘플 격자는 다음과 같을 수 있습니다:

....................
..............######
##..................
.................###
.................###
#####...............
#####............... 
#####...............

보시다시피, 목표는 채워진 영역 사이에서 가장 큰 연속 빈 공간의 면적을 계산하는 것입니다.

솔루션 이해하기

최대 직사각형 문제를 해결하기 위해 우리는 특히 히스토그램 문제와 같은 다른 잘 알려진 문제의 원리를 활용할 수 있습니다. 이 전략은 본질적으로 격자를 일련의 히스토그램으로 변환한 다음 이 구조에서 면적을 계산하는 것입니다. 다음은 이를 분해하는 방법입니다:

1. 행을 히스토그램으로 표현하기

격자의 각 행에 대해 해당 행에서 끝나는 연속 비어 있는 사각형의 높이를 나타내는 높이 배열을 계산할 수 있습니다. 본질적으로:

격자의 요소가 '.'이면, 위 행의 높이를 증가시킵니다.
만약 '#'이면 높이를 0으로 재설정합니다.

2. 각 행에 대한 직사각형 면적 계산하기

각 행에 대한 높이 배열이 생성되면, 다음 단계는 이 높이 배열을 사용하여 형성할 수 있는 가장 큰 직사각형의 면적을 계산하는 것입니다. 이는 스택 데이터 구조를 사용하여 효율적으로 수행할 수 있습니다:

높이 배열을 탐색합니다.
막대의 인덱스를 추적하기 위해 스택을 사용합니다.
더 낮은 막대가 나타날 때마다 스택에서 팝하여 높이를 결정하고 면적을 계산하며, 그동안 발견한 최대 면적을 업데이트합니다.

3. 구현 개요

알고리즘을 효과적으로 구현하기 위해 다음 단계를 따르십시오:

각 열의 높이를 저장할 높이 배열을 초기화합니다.
격자의 각 행을 반복합니다.
해당 행의 요소에 기반하여 높이 배열을 업데이트합니다.
현재 높이 구성에 대한 최대 직사각형 면적을 결정하기 위해 스택 방법을 사용합니다.

코드 예제

다음은 이 과정을 설명하는 간단한 파이썬 코드 스니펫입니다:

def maximalRectangle(matrix):
    if not matrix:
        return 0

    height = [0] * len(matrix[0])
    max_area = 0

    for row in matrix:
        for i in range(len(row)):
            height[i] = height[i] + 1 if row[i] == '.' else 0
        max_area = max(max_area, largestRectangleArea(height))
    return max_area

def largestRectangleArea(heights):
    stack = []
    max_area = 0
    heights.append(0)  # 센티넬

    for i, h in enumerate(heights):
        while stack and heights[stack[-1]] > h:
            height = heights[stack.pop()]
            width = i if not stack else i - stack[-1] - 1
            max_area = max(max_area, height * width)
        stack.append(i)
    return max_area

결론

최대 직사각형 문제는 알고리즘 애호가들에게 흥미로운 도전 과제가 될 뿐만 아니라, 실질적인 응용 프로그램도 많이 있습니다. 히스토그램을 사용하여 문제를 효율적으로 표현하고 스택을 활용하여 면적을 계산함으로써 우리는 선형 시간 내에 문제를 해결할 수 있습니다.

더 읽어보려면 @lassevk이 언급한 Dr. Dobb’s Journal의 자세한 기사를 확인하시기 바랍니다 여기에서 찾을 수 있습니다. 이 알고리즘에 대한 지식을 통해 프로젝트에서 발생하는 유사한 문제를 자신 있게 해결할 수 있습니다.

항상 그렇듯이, 알고리즘을 마스터하는 열쇠는 연습입니다! 그러므로 이 솔루션을 선호하는 프로그래밍 언어로 구현해 보고 다양한 격자 구성에서 어떻게 작동하는지 확인하십시오.